线性有限动力系统中不同函数图的计数

设 $\mathbb F_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域，并对每个正整数 $n$，令 $A_q(n)$ 为源自 $\mathbb F_q$-线性映射 $T:\mathbb F_{q}^n\to \mathbb F_{q}^n$ 的非同构函数图的数目。2013 年，Bach 与 Bridy 证明：若 $q$ 固定且 $n$ 充分大，则量 $\frac{\log \log A_q(n)}{\log n}$ 落在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 内。通过结合线性代数、组合学与数论中的一些思想，本文给出了关于函数 $A_q(n)$ 的更精确估计，并特别地证明了对每个素数幂 $q$ 均有 $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\log\log A_q(n)}{\log n}=1$。