同构自动机网络的交互图 II：普适动力学

一个具有 $n$ 个组件且基于大小为 $q$ 的有限字母表 $Q$ 的自动机网络，是由函数 $f:Q^n\to Q^n$ 的连续迭代所描述的离散动力系统。在大多数应用中，主要参数是 $f$ 的交互图：一个顶点集为 $[n]$ 的有向图，如果 $f_i$ 依赖于输入 $j$，则该图包含一条从 $j$ 到 $i$ 的弧。对于与 $f$ 同构的自动机网络的交互图集合 $\mathbb{G}(f)$，我们能得出什么结论？这个看似简单的问题似乎从未被研究过。在先前的论文中，我们证明了包含 $n^2$ 条弧的完全有向图 $K_n$ 具有普适性，即只要 $f$ 不是常数函数也不是恒等函数（且 $n\ge 5$），就有 $K_n\in \mathbb{G}(f)$。在本文中，我们从相反的方向出发，证明了存在普适的自动机网络 $f$，即 $\mathbb{G}(f)$ 包含 $[n]$ 上的所有有向图，除了空图。实际上，我们证明了 $\mathbb{G}(f)$ 中仅存在三个特定的有向图就蕴含了 $f$ 的普适性，并且我们证明这迫使字母表大小 $q$ 至少具有 $n$ 个质因子（计入重数）。然而，我们证明了对于任意固定的 $q\ge 3$，存在几乎普适的函数，即函数 $f:Q^n\to Q^n$ 使得随机有向图属于 $\mathbb{G}(f)$ 的概率随着 $n\to\infty$ 趋于 $1$。我们不知道这在二元情况 $q=2$ 下是否成立，仅提供了部分结果。