实函数及其导数的增长性

我们证明，对于任意 $k$ 次连续可微函数 $f:[a,\infty)\longrightarrow{\mathbb R}$、任意整数 $q\ge 0$ 以及任意 $\alpha>1$，不等式 $$\liminf_{x\to\infty} \frac{x^k \cdot\log x\cdot \log_2 x\cdot\dots\cdot \log_q x \cdot f^{(k)}(x)}{1+|f(x)|^\alpha}\le 0$$ 成立。