高阶除数函数平均意义上的局部 Fourier 均匀性

设 $\tau_k$ 为 $k$ 重除数函数。通过构造 $\tau_k$ 的逼近量（记为 $\tau_k^*$），即 $k$ 重除数函数的归一化截断，我们证明了当 $\exp\left(C\log^{1/2}X(\log\log X)^{1/2}\right)\leq H\leq X$ 且 $C>0$ 充分大时，对于几乎所有 $x\in[X,2X]$，以下估计成立：$$\Big|\sum_{x<n\leq x+H}(\tau_k(n)-\tau_k^*(n)) e(\alpha_dn^d+\cdots+\alpha_1n)\Big|=o(H\log^{k-1}X),$$ 其中 $\alpha_1, \dots, \alpha_d\in \mathbb{R}$ 为任意频率。