修正的分数阶对数 Sobolev 不等式

在本短文中，我们证明了 $\mathbb{R}^n$ 上带分数阶导数的对数 Sobolev 不等式，并给出常数的显式表达式。具体而言，我们证明对所有 $0<s<\frac{n}{2}$ 与 $a>0$，有不等式 $$\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^2 \log \left( \frac{|f(x)|^2}{\|f\|^{2}_{L^2(\mathbb{R}^n)}}\right)\,dx+\frac{n}{s}(1+\log a)\|f\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{2}\leq C(n,s,a)\|(-\Delta)^{s/2}f\|^{2}_{L^2(\mathbb{R}^n)}$$ 其中显式常数 $C(n,s,a)$ 依赖于 $a$、阶数 $s$ 与维数 $n$，并考察了 $C(n,s,a)$ 在 $n$ 很大时的性态。值得注意的是，当 $n$ 很大且 $s=1$ 时，常数 $C(n,1,a)$ 渐近等于 Lieb 与 Loss 的尖锐常数。此外，对满足 $1<p<n$ 且 $p<q\leq \frac{p(n-1)}{n-p}$ 的函数 $f \in L^q(\mathbb{R}^n)\cap W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$，我们证明了类似类型的不等式。