实解析函数对数模的 Sobolev 可微性

设$f$为$\mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）中原点处实解析函数的芽，并设$f$在$\mathbf{0}$处零点集的余维数至少为$2$。我们证明$\log |f|$在$\mathbf{0}$附近属于$W^{1,1}_{\operatorname{loc}}$。特别地，这意味着微分不等式$|\nabla f |\leq V |f|$在$V \in L^1_{\operatorname{loc}}$时成立。