具有有界高阶导数的非 Lipschitz 函数的集中不等式

基于 R. Lata{\l}a 关于独立高斯变量中齐次四面体多项式的不等式，我们为非必然 Lipschitz 函数 $f\colon \R^n \to \R$ 提供了集中不等式，前提是其高阶导数有界，且底层测度满足一族 Sobolev 型不等式 $\|g- \E g\|_p \le C(p)\|\nabla g\|_p$。此类 Sobolev 型不等式成立的情况例如：底层测度满足 log-Sobolev 不等式（此时 $C(p) \le C\sqrt{p}$）或 Poincar\'e 不等式（此时 $C(p) \le Cp$）。我们的集中估计用 $f$ 的导数的张量积范数表示。当底层测度为高斯测度且 $f$ 为多项式（非必然四面体或齐次）时，我们的估计可以逆转（最多相差一个仅取决于多项式次数的常数）。我们还表明，对于多项式函数，类似的估计适用于具有独立次高斯坐标的任意随机向量。我们将不等式应用于随机向量的一般加性泛函（特别是随机矩阵的线性特征值统计）以及 Erd\H{o}s-R{\'e}nyi 随机图中固定长度圈的计数问题，从而在特定参数范围内获得了新的最优估计。