有限域二次扩张上函数族的动力学

设 $\mathbb{F}_q$ 为有限域, 其元素数为 $q=p^s$,其中 $p$ 为奇素数, $s$ 为正整数. 本文定义函数 $f(X)=(cX^q+aX)(X^{q}-X)^{n-1}$,其中 $a,c\in\mathbb{F}_q$, $n\geq 1$. 我们研究函数 $f(X)$ 在有限域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的动力学,确定循环长度和循环数. 我们还证明所有附着于循环元素的树均同构,唯一例外是零元素的挂树. 我们还给出此类挂树的一般形状,从而完整描述了 $f(X)$ 的函数图.设 $\mathbb{F}_q$ 为有限域, 其元素数为 $q=p^s$,其中 $p$ 为奇素数, $s$ 为正整数. 本文分析函数 $f(X)=(cX^q+aX)(X^{q}-X)^{n-1}$,其中 $a,c\in\mathbb{F}_q$, $n\geq 1$. 将 $\mathbb{F}_{q^2}$ 视为 $\mathbb{F}_q$ 的二维向量空间,我们获得诱导动力学系统的显式代数描述. 我们确定所有可能的循环长度,每个长度的循环的确切数量,并给出周期点附着树的完整分类. 函数图的结构显示为 $\mathbb{F}_q$ 的算术不变量(包括最大公约数和乘性字符)所决定.