有限域上迪克森多项式的周期性与动力系统

本文研究了有限域上迪克森多项式的动力学性质，重点关注其迭代序列的周期性和结构行为。我们引入并分析了序列 $[D_n(x, \alpha) \mod (x^q - x)]_n$，其中 $D_n(x, \alpha)$ 表示第一类迪克森多项式，并探讨了其在模 $x^q - x$ 下的周期性质。我们推导出了这些序列周期的显式公式，特别是在 $n$ 与 $q^2 - 1$ 互质的情况下。此外，我们发现了多项式系数的一个对称性质，该性质在这些序列的分析中起着关键作用。利用组合数学、初等数论和有限域的工具，我们提出了计算精确周期的算法，并研究了这些多项式的动力学结构。我们还指出了在次数 $n$ 与 $q^2 - 1$ 不互质的情况下的开放问题。我们的结果对迪克森多项式的代数结构及其在有限域动力系统中的作用提供了深刻的见解。