Sato-Tate 猜想中的素数模式

固定一条非CM椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$，令 $a_E(p) = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)$ 表示 $p$ 处 Frobenius 的迹。Sato-Tate 猜想给出了 $a_E(p)/(2\sqrt{p})$ 在 $[-1, 1]$ 内的极限分布 $\mu_{ST}$。我们在该分布背景下建立了素数的有界间隙。更精确地，给定区间 $I\subseteq [-1, 1]$，令 $p_{I,n}$ 表示第 $n$ 个满足 $a_E(p)/(2\sqrt{p})\in I$ 的素数。我们对“大多数”区间证明 $\liminf_{n\to\infty}(p_{I,n+m}-p_{I,n}) < \infty$ 对所有 $m\ge 1$ 成立，特别地，对所有满足 $\mu_{ST}(I)\ge 0.36$ 的 $I$ 成立。此外，我们证明了有界间隙结果与 Green-Tao 定理的一个共同推广。为获得这些结果，我们展示了 Sato-Tate 素数的一个 Bombieri-Vinogradov 型定理。