素数线性模式的小尺度分布

设 $\Psi$ 为具有有限复杂度的线性形式系统。Green 与 Tao 在其开创性论文中展示了该系统 $\Psi$ 取值的如下素数定理：$$\sum_{x\in [-N,N]^d} \prod_{i=1}^t \mathbf{1}_{\mathcal{P}}(\psi_i(x)) \sim \frac{(2N)^d}{(\log N)^t} \prod_{p} \beta_p,$$ 其中 $\beta_p$ 为相应的局部密度。本文中，我们展示了这些素数在小尺度上均匀分布的局限；我们给出了对应于 Maier 关于短区间中素数结果的类比。特别地，我们证明对所有 $\lambda > 1$，存在 $\delta_\lambda^\pm > 0$，使得对充分大的 $N$，存在边长至少为 $(\log N)^\lambda$ 的盒子 $B^\pm\subset [-N, N]^d$ 满足 $$\sum_{x\in B^+} \prod_{i=1}^t \mathbf{1}_{\mathcal{P}}(\psi_i(x)) > (1+\delta^+) \frac{\mathrm{vol}(B^+)}{(\log N)^t} \prod_{p}\beta_p,$$ $$\sum_{x\in B^-} \prod_{i=1}^t \mathbf{1}_{\mathcal{P}}(\psi_i(x)) < (1-\delta^-) \frac{\mathrm{vol}(B^-)}{(\log N)^t} \prod_{p}\beta_p.$$