一族 $K3$ 曲面的显式 Sato-Tate 型分布

在 1960 年代，Birch 证明了在大型有限域上随机选取的椭圆曲线的 Frobenius 迹由半圆形分布（即非 CM 椭圆曲线的通常 Sato-Tate 分布）刻画。类比 Birch 的结果，Ono、作者与 Saikia 最近的一篇论文证明，具有一般 Picard 秩 $19$ 的某族 $K3$ 曲面 $X_\lambda$ 的归一化 Frobenius 迹 $A_{\lambda}(p)$ 的极限分布是 $O(3)$ 分布。我们将此分布记为 $\frac{1}{4\pi}f(t)$，它与半圆形分布截然不同。它支撑于 $[-3,3]$ 上，并在 $t=\pm1$ 处有垂直渐近线。在此我们使该结果显式化。我们证明，若 $p\geq 5$ 为素数且 $-3\leq a<b\leq 3$，则 $$\left|\frac{\#\{\lambda\in\mathbb{F}_p :A_{\lambda}(p)\in[a,b]\}}{p}-\frac{1}{4\pi}\int_a^b f(t)dt\right|\leq \frac{110.84}{p^{1/4}}.$$ 作为推论，我们能够确定有限域 $\mathbb{F}_p$ 何时足够大，以使离散直方图在 $t=\pm1$ 附近达到任意给定高度。为获得这些结果，我们利用了调和 Maass 形式理论中的 Rankin-Cohen 括号理论。