函数域上椭圆曲线的 Frobenius 迹的分布

设 C 是特征为 p>3 的含 q 个元素的有限域 $\mathbb{F}_{q}$ 上定义的光滑不可约射影曲线，$K=\mathbb{F}_{q}(C)$ 为其函数域，$\phi_{\mathcal{E}}:\mathcal{E}\to C$ 是 $\mathbf{E}/K$ 的极小正则模型。对每个 $P\in C$ 记 $\mathcal{E}_P=\phi^{-1}_{\mathcal{E}}(P)$。椭圆曲线 $E/K$ 在 $P\in C$ 处有好约化当且仅当 $\mathcal{E}_P$ 是定义在 P 的剩余域 $\kappa_P$ 上的椭圆曲线。该域是 $\mathbb{F}_q$ 的 $\deg(P)$ 次有限扩张。令 t(\mathcal{E}_P)=q^{\deg(P)}+1-#\mathcal{E}_P(\kappa_P) 为 P 处的 Frobenius 迹。由 Hasse-Weil 定理（参见 [10, 第五章, 定理 2.4]），$t(\mathcal{E}_P)$ 是 $\mathcal{E}_P$ 的 zeta 函数零点的逆之和。特别地，$|t(\mathcal{E}_P)|\le 2q^{\deg(P)}$。令 $C_0\subset C$ 为 C 上 $E/K$ 有好约化的点集，$C_0(\mathbb{F}_{q^k})$ 为 $C_0$ 的 $\mathbb{F}_{q^k}$-有理点子集。我们讨论如下问题。设 k 和 t 为整数且 $|t|\le 2q^{k/2}$。令 \pi(k,t)=#\{P\in C_0(\mathbb{F}_{q^k}) | t(\mathcal{E}_P)=t\}。$\pi(k,t)$ 有多大？