函数域上椭圆曲线的 Frobenius 元素分布

设 $C$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上的光滑射影曲线，函数域为 $K$，$E/K$ 为非常数椭圆曲线，$\phi:\mathcal{E}\to C$ 为其极小正则模型。对每个使得 $E$ 在 $P$ 处有良好约化的 $P\in C$，即纤维 $\mathcal{E}_P=\phi^{-1}(P)$ 光滑，其在 $P$ 的剩余类域 $\kappa_P$ 上的 zeta 函数特征值为形如 $q_P^{1/2}e^{i\theta_P},q_{P}e^{-i\theta_P}$ 者，其中 $q_P=q^{\deg(P)}$ 且 $0\le\theta_P\le\pi$。本注记的目标是在给定整数 $B\ge 1$、$\alpha,\beta\in[0,\pi]$ 时，确定满足 $E$ 的约化良好、$\deg(P)\le B$ 且 $\alpha\le\theta_P\le\beta$ 的 $P\in C$ 的个数。