关于 φ-次高斯随机变量的强大数定律

对于 $p\ge 1$，令 $\varphi_p(x)=x^2/2$ 若 $|x|\le 1$，且 $\varphi_p(x)=1/p|x|^p-1/p+1/2$ 若 $|x|>1$。对于一个随机变量 $\xi$，令 $\tau_{\varphi_p}(\xi)$ 表示 $\inf\{a\ge 0:\;\forall_{\lambda\in\mathbb{R}}\; \ln\mathbb{E}\exp(\lambda\xi)\le\varphi_p(a\lambda)\}$；$\tau_{\varphi_p}$ 是 $\varphi_p$-次高斯随机变量空间 $Sub_{\varphi_p}=\{\xi:\;\tau_{\varphi_p}(\xi)<\infty\}$ 中的一个范数。我们证明，若对于一个序列 $(\xi_n)\subset Sub_{\varphi_p}$ ($p>1$) 存在正常数 $c$ 和 $\alpha$，使得对每个自然数 $n$ 以下不等式 $\tau_{\varphi_p}(\sum_{i=1}^n\xi_i)\le cn^{1-\alpha}$ 成立，则当 $n\to\infty$ 时 $n^{-1}\sum_{i=1}^n\xi_i$ 几乎必然收敛到零。这一结果将独立次高斯随机变量的强大数定律（Taylor 和 Hu \cite{TayHu}）推广到了相依 $\varphi_p$-次高斯随机变量的情形。