大数定律与大偏差的一个补充

设 $0 < p < 2$。令 $\{X, X_{n}; n \geq 1\}$ 为独立同分布的 $\mathbf{B}$ 值随机变量序列，并记 $S_{n} = \sum_{i=1}^{n}X_{i},~n \geq 1$。本文给出了经典大数定律与经典大偏差的一个补充。我们证明，若 $S_{n}/n^{1/p} \rightarrow_{\mathbb{P}} 0$，则对所有 $s > 0$，$$\limsup_{n \to \infty} \frac{1}{\log n} \log \mathbb{P}\left(\left\|S_{n} \right\| > s n^{1/p} \right) = - (\bar{\beta} - p)/p$$ 且 $$\liminf_{n \to \infty} \frac{1}{\log n} \log \mathbb{P}\left(\left\|S_{n} \right\| > s n^{1/p} \right) = -(\underline{\beta} - p)/p,$$ 其中 $$\bar{\beta} = - \limsup_{t \rightarrow \infty} \frac{\log \mathbb{P}(\log \|X\| > t)}{t} ~~\mbox{and}~~\underline{\beta} = - \liminf_{t \rightarrow \infty} \frac{\log \mathbb{P}(\log \|X\| > t)}{t}.$$ 证明此结果所使用的主要工具为对称化技巧以及分别由 Hoffmann-J{\o}rgensen (1974)、de Acosta (1981) 和 Ledoux 与 Talagrand (1991) 建立的三个有力不等式。作为该结果的特例，Hu 与 Nyrhinen (2004) 的主要结果不仅得到改进，更获得推广。