无限四阶矩下大相关矩阵的对数行列式

本文中，我们给出了由 $(p\times n)$ 维数据矩阵 $\mathbf{X}$ 构造的样本相关矩阵 $\mathbf{R}$ 的对数行列式的中心极限定理，其中 $\mathbf{X}$ 含独立同分布随机项，其均值为零、方差为1且四阶矩无穷。确切地说，我们表明当 $n,p\to \infty$ 时 $p/n\to \gamma\in (0,1)$，若数据矩阵 $\mathbf{X}$ 的项服从指数为 $\alpha\in (3,4)$ 的正则变尾对称分布，则对数律 \begin{equation*} \frac{\log \det \mathbf{R} -(p-n+\frac{1}{2})\log(1-p/n)+p-p/n}{\sqrt{-2\log(1-p/n)- 2 p/n}} \overset{d}{\rightarrow} N(0,1)\, \end{equation*} 仍然成立。后一假设看似关键，这由模拟所证实：若 $\mathbf{X}$ 的项具有无穷绝对三阶矩和/或其分布不对称，该对数律便不再成立。所得结果凸显样本相关矩阵的对数行列式对于重尾大数据是一类非常稳定且灵活的统计量，并为分析含自标准化项的高维随机矩阵开辟了新途径。