高维中心极限定理：维数增长率的最优界

在本文中，我们试图回答一个简单的问题：“作为样本量 $n$ 的函数的维数 $p$ 的临界增长率是多少，使得中心极限定理在 $p$ 维超矩形集合上一致成立？”。具体而言，我们关注 $\mathcal{R}^p$ 中 $\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的适当缩放版本在超矩形类 $\mathcal{A}^{re}=\{\prod_{j=1}^{p}[a_j,b_j]\cap\mathcal{R}:-\infty\leq a_j\leq b_j \leq \infty, j=1,\ldots,p\}$ 上的一致正态逼近，其中 $X_1,\dots,X_n$ 是独立的 $p$ 维随机向量，且每个向量的分量独立同分布（iid）。我们研究 $\log p$ 的临界截断率：在此率以下一致中心极限定理（CLT）成立，以上则不成立。根据 Chernozukov 等人（2017）的一些近期结果，已知若 $\log p=o\big(n^{1/7}\big)$，则 CLT 在 $\mathcal{A}^{re}$ 上一致成立。他们还猜想，要使 CLT 在 $\mathcal{A}^{re}$ 上一致成立，最优率为 $\log p = o\big(n^{1/3}\big)$。我们则证明，在某些条件下，当 $\log p=o\big(n^{1/2}\big)$ 时，CLT 在 $\mathcal{A}^{re}$ 上一致成立。更精确地，我们证明若对某个足够小的 $\epsilon>0$ 有 $\log p =\epsilon \sqrt{n}$，则正态逼近在 $\mathcal{A}^{re}$ 上以误差 $\epsilon$ 一致有效。进一步，我们通过一个例子表明，若对某个 $\delta>0$ 有 $\limsup_{t\rightarrow \infty} n^{-(1/2+\delta)} \log p >0$，则 $\mathcal{A}^{re}$ 上的一致 CLT 不成立。因此，CLT 成立的 $p$ 增长率的临界率为 $\log p=o\big(n^{1/2}\big)$。