高维欧几里得空间上径向随机游走的极限定理

设 $\nu\in M^1([0,\infty[)$ 为一个固定的概率测度。对于每个维度 $p\in \mathbb{N}$，令 $(X_n^{p})_{n\geq1}$ 为具有独立同分布、径向对称分布且径向分布为 $\nu$ 的 $\mathbb{R}^p$ 值随机变量。我们研究了大参数 $n$ 和 $p$ 下 $S_n^{p}:=X_1^{p}+...+ X_n^{p}$ 的欧几里得长度分布。根据维度 $p=p_n$ 的增长情况，我们利用矩方法推导了泛函 $|S_n^{p}|_2$ 的两个互补的中心极限定理 (CLT)，其极限为正态分布，分别对应于 $n/p_n \to \infty$ 和 $n/p_n \to 0$ 的情形。此外，我们还提出了 $n/p_n \to c\in]0,\infty[$ 情形下的中心极限定理。在此过程中，我们推导了 $\b R^p$ 上径向分布随机变量矩的显式公式和渐近结果。所有极限定理也针对 $p\to \infty$ 且固定维度 $q$ 时，定义在 $p\times q$ 矩阵空间 $\b M_{p,q}(\b R)$ 上的正交不变随机游走进行了考虑，而非 $\b R^p$。