高维自归一化和的中心极限定理与近经典 Berry-Esseen 速率

本文关注 $T_n =\Big(\sum_{i=1}^{n}X_{i1}/\Big(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}X_{i1}^2}\Big),\dots,$ $\sum_{i=1}^{n}X_{ip}/\Big(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}X_{ip}^2}\Big)\Big)$ 在 $\mathcal{R}^p$ 中关于超矩形类 $\mathcal{A}^{re}=\{\prod_{j=1}^{p}[a_j,b_j]\cap\mathcal{R}:-\infty\leq a_j\leq b_j \leq \infty, j=1,\ldots,p\}$ 的一致高维正态逼近，其中 $X_1,\dots,X_n$ 为非退化独立 $p$ 维随机向量。我们假设 $X_i$ 的分量独立同分布（iid），并研究 $T_n$ 在 $\mathcal{A}^{re}$ 上一致中心极限定理（UCLT）中 $\log p$ 的最优截断速率。旨在将高维 CLT 中通常假设维度随样本量指数增长所需指数矩条件削弱为某些多项式矩条件。事实上，我们确立仅需存在某阶 $\in [2,4]$ 的多项式矩即足以支撑 $p$ 的指数增长。然而即便 $X_{ij}$ 跨 $(i,j)$ iid 且 $X_{11}$ 有界，$\log p$ 的增长速率作为 $n$ 的幂次也无法从 $o\big(n^{1/2}\big)$ 进一步改善。我们还确立了在高维下，于 $X_{ij}$ 存在 $(2+\kappa)$ 阶绝对矩（$0< \kappa \leq 1$）时 $T_n$ 的近 $-n^{-\kappa/2}$ Berry-Esseen 速率。当 $\kappa =1$ 时，所得 Berry-Esseen 速率亦被证为最优。作为应用，我们给出了分量式 Student t 统计量的相应版本，或可有益于高维统计推断。