极短特征和的分布

我们证明了对于几乎所有素数 $p$，$(1/\sqrt{h_p})\sum_{X< n \leq X+h_p}\big(\tfrac{n}{p}\big)$ 服从中心极限定理，其中 $X$ 在 $[g(p)]$ 上均匀分布，$g(p)$ 是任意一个比 $p$ 的任何幂次增长都慢的发散函数，前提是 $(\log h_p)/(\log g(p))\rightarrow 0$ 且 $h_p \rightarrow \infty$（当 $p \rightarrow \infty$）。这改进了 Basak、Nath 和 Zaharescu 的近期结果，后者在 $g(p) = (\log p)^A, A>1$ 的情形下建立了该定理。我们还利用目前可用的最佳工具，将 Davenport 和 Erd\H{o}s 关于所有素数的原始中心极限定理扩展到了更短的起始点区间。在本文中，我们利用了 Harper 最近使用的 Selberg 筛法、Evertse 和 Silverman 的一个交集结果，以及一般特征和的 Weil 界的一些推论。