关于鞅中心极限定理的收敛速度

考虑一个离散时间鞅，并令$V^2$为其归一化二次变差。当$V^2$趋近于1，且满足某种Lindeberg条件时，重标度鞅的分布趋近于高斯分布。对于任意$p\geq 1$，(Ann. Probab. 16 (1988) 275-299)给出了该中心极限定理收敛速度的一个界，该界是两个项之和，记为$A_p+B_p$，其中在常数因子下，$A_p={\|V^2-1\|}_p^{p/(2p+1)}$。本文讨论这一项的最优性，重点关注具有有界增量的鞅这一受限类别。在此背景下，(Ann. Probab. 10 (1982) 672-688)概述了证明$p=1$时最优性的策略。本文将这一策略推广到任意$p\geq 1$，从而证明了项$A_p$的最优性。作为一个必要步骤，我们还给出了具有有界增量的鞅在中心极限定理中收敛速度的一个新界，该界改进了项$B_p$，推广了(Ann. Probab. 10 (1982) 672-688)的另一个结果。