关于Rademacher随机乘性函数渐近行为的几点注记

设 $X_p, p\in\cP$ 为一列独立随机变量，满足 $\bbP(X_p=\pm 1)=1/2$。设 $\te_j=\prod_{p|j}X_p$ 若 $j$ 无平方因子，否则 $\te_j=0$。记 $S_n=\sum_{\ell=1}^n\te_\ell$。从这个观点来看，证明 $S_n$ 的极限定理是一个自然的问题，因为 $S_n$ 模仿了 $e^{\sqrt{\ln(\beta)}}$ 的行为。一个自然的指导性猜想是 $S_n/\sqrt n$ 服从中心极限定理（CLT）。然而，S. Chatterjee 猜想（如 \cite{[25]} 所述）CLT不应成立。Chatterjee的猜想由Harper \cite{[17]} 证明，且到目前为止，这已成为Harper \cite{Har20} 更近期突破的直接推论，即 $\frac{S_n}{b_n}\to 0$ 在 $L^1$ 中成立，其中 $b_n=(n^{1/2}(\ln(\ln(n)))^{-1/4})u_n, u_n\to\infty$。特别地，$S_n/\sqrt n\to 0$。尽管如此，是否存在一个序列 $a_n=o(b_n)$ 使得 $S_n/a_n$ 收敛到某个极限，这个问题仍然是个谜。注意，Steinhaus设定中的相应问题最近已由 \cite{Gor1} 解决。在本文中，我们试图为 $S_n/a_n$ 的收敛性提供一些见解。此外，我们得到了 $S_n$ 高阶矩的显式估计，且不像 \cite[Theorem 1.2]{Har19} 那样对矩相对于 $n$ 的大小施加限制，这具有独立的意义。这是通过鞅论证结合Burkholder不等式实现的，并在一个自然的数论组合问题中有应用。利用鞅技术，我们还将获得 $S_n$ 的指数集中不等式（在大偏差情形下）。