Salem–Zygmund 几乎必然中心极限定理中的涨落

考虑定义在公共概率空间 $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ 上、服从对称 Rademacher 分布的独立同分布随机变量 $\{a_k,b_k\}_{k \geq 1}$ 及相关的随机三角多项式 $S_n(\theta)= \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n a_k \cos(k\theta)+b_k \sin(k\theta)$。Salem 和 Zygmund 的一项开创性结果确保 $\mathbb{P}-$几乎必然地，$\forall t\in\mathbb{R}$ 有 $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i t S_n(\theta)}d\theta=e^{-t^2/2}。$$ 该结果随后在系数分布、依赖结构或环绕流形的维数与性质等多个方向上得到进一步推广。据我们所知，上述极限中的涨落这一自然问题迄今尚未被触及，而这正是本文的研究对象。即，对于具有有限六阶矩的一般独立同分布对称随机系数以及一大类连续检验函数 $\phi$，我们证明 $$\sqrt{n}\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \phi(S_n(\theta))d\theta-\int_{\mathbb{R}}\phi(t)\frac{e^{-\frac{t^2}{2}}dt}{\sqrt{2\pi}}\right)\xrightarrow[n\to\infty]{\text{Law}}~\mathcal{N}\left(0,\sigma_{\phi}^2+\frac{c_2(\phi)^2}{2}\left(\mathbb{E}(a_1^4)-3\right)\right)。$$ 此处，常数 $\sigma_{\phi}^2$ 是显式的，对应于高斯系数情形下的极限方差，而 $c_2(\phi)$ 是 $\phi$ 在 Hermite 多项式基下分解中的二阶系数。令人惊讶的是，涨落并非普适的，因为它们同时涉及系数的峰度以及 $\phi$ 在 Hermite 基下的二阶系数。