随机正规矩阵计数统计 fluctu-ations 的普适性

我们考察$n\times n$随机正规矩阵中特征值计数统计的浮动情况，这些矩阵取决于势函数Q在给定集合A中的位置。已知这些特征值形成行列式点过程，并在Q的 mild 条件下聚集于称为滴滴(droplet)的紧凑集合。当A是滴滴内部严格的Borel集合时，我们证明特征值个数$N_A^{(n)}$的方差具有极限行为：\n\begin{align*}\lim_{n\to\infty} \frac1{\sqrt n}\operatorname{Var } N_A^{(n)} = \frac{1}{2\pi\sqrt\pi}\int_{\partial_* A} \sqrt{\Delta Q(z)} \, d\mathcal H^1(z),\n\end{align*}\n其中$\partial_* A$为A的测度论边界，$d\mathcal H^1(z)$表示一维 Hausdorff 测度，$\Delta = \partial_z \overline{\partial_z}$。我们也考虑A是滴滴的微观扩张情况，完全推广了Akemann、Byun和Ebke关于任意势函数的结果。在该结果中，$d\mathcal H^1(z)$被替换为滴滴外部的无穷处的调和测度。该第二结果通过强化Hedenmalm-Wennman和Ameur-Cronvall关于滴滴边界附近相关核的渐近行为结果而证得。