相依数据下大维样本协方差矩阵线性谱统计量的中心极限定理

本文研究形如 $\mathbf{B}_n=n^{-1}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{Q}\mathbf{x}_j\mathbf{x}_j^{*}\mathbf{Q}^{*}$ 的高维样本协方差矩阵线性谱统计量的中心极限定理，其中 $\mathbf{Q}$ 是 $p\times k$ 维非随机矩阵，$\{\mathbf{x}_j\}$ 是具有独立分量的独立 $k$ 维随机向量序列，且假设 $p/n\to y>0$。本文的一个关键新意在于维度 $k\ge p$ 可以是任意的，甚至可能为无穷大。这种新的样本协方差矩阵 $\mathbf{B}_n$ 模型将大多数已知模型作为其特例。例如，当 $k=p$ 且 $\mathbf{Q}=\mathbf{T}_n^{1/2}$（$\mathbf{T}_n$ 为某正定 Hermitian 矩阵）时，即得到标准样本协方差矩阵。此外，当 $k=\infty$ 时，该模型涵盖了近期高维时间序列文献中考虑的重复线性过程情形。本文得到的中心极限定理实质性地推广了 Bai 和 Silverstein (2004) 的开创性中心极限定理。本文还提出了这一新中心极限定理在检验高维协方差矩阵结构方面的应用，并将导出的检验用于分析大型 fMRI 数据集的时序相关结构。