高维 Spearman 秩相关矩阵的谱统计及其应用

设 $\mathbf{Q}=(Q_1,\ldots,Q_n)$ 为从 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的所有 $n!$ 个排列集合上的均匀分布中抽取的随机向量。设 $\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots,Z_n)$，其中 $Z_j$ 是通过对 $Q_j$ ($j=1,\ldots,n$) 进行中心化和标准化得到的均值为零、方差为 1 的随机变量。假设 $\mathbf {X}_i,i=1,\ldots ,p$ 是 $\frac{1}{\sqrt{p}}\mathbf{Z}$ 的独立同分布副本，且 $X=X_{p,n}$ 是以 $\mathbf{X}_i$ 为其第 $i$ 行的 $p\times n$ 随机矩阵。那么 $S_n=XX^*$ 被称为 $p\times n$ Spearman 秩相关矩阵，可视为两个独立随机变量之间经典非参数统计量 Spearman 秩相关系数的高维推广。在本文中，我们在高维情形下（即 $p=p(n)$ 且当 $n\to\infty$ 时 $p/n\to c\in(0,\infty)$）建立了该非参数随机矩阵模型线性谱统计量的中心极限定理 (CLT)。我们提出了一种新的评估方案来估计 Anderson 和 Zeitouni 在 [Ann. Statist. 36 (2008) 2553-2576] 的累积量方法中的核心量，以绕过所谓的联合累积量可加性问题。此外，我们提出了一种两步比较法来获得 CLT 中均值和协方差函数的显式公式。基于此 CLT，我们构造了一个无分布统计量来检验随机向量分量的完全独立性。由于其非参数特性，我们可以将此检验用于一般分布的随机变量，包括重尾分布。