线性谱统计样本相关矩阵中心极限定理的必要充分条件

本文建立了样本相关矩阵 $R$ 的线性谱统计 (LSS) 的中心极限定理 (CLT)，其中 $R$ 由 $p \times n$ 数据矩阵 $X$ 构成，$X$ 的元素独立同分布 (i.i.d.)，具有均值为零、方差为一且无限四阶矩，考虑高维情形 $n/p \rightarrow \phi \in \mathbb{R}_+ \backslash \{1\}$。我们推导了 CLT 的必要充分条件。更具体地，假设 $X$ 中元素的相同分布 $\xi$ 满足当 $x \rightarrow \infty$ 时 $\mathbb{P}(|\xi|>x) \sim l(x)x^{-\alpha}$，其中 $\alpha \in (2,4]$，$l(x)$ 为慢变函数，我们得出以下结论：(i)。当 $\alpha \in (3,4]$ 时，LSS 对样本相关矩阵的普适渐近正态性成立，其渐近均值和方差与有限四阶矩情形相同；(ii) 我们确定了 CLT 的必要充分条件 $\lim_{x \rightarrow \infty} x^3 \mathbb{P}(|\xi|>x) = 0$；(iii) 我们建立了 $\alpha \in (2, 4]$ 区间的局部规律。总体而言，我们的证明策略遵循矩阵抽样、中间局部规律、Green 函数比较和特征函数估计的常规流程。在证明的多个环节，我们需要提出新的方法和思想来解决样本相关矩阵特殊结构所致的挑战。我们的结果还表明，LSS 对样本相关矩阵的 CLT 无需对称条件，但尾指数 $\alpha$ 在决定 $\alpha \in (2, 3)$ 区间 LSS 的渐近行为中起关键作用。