次稀疏序列模 1 的密度：Peres-Schlag 论证的应用

设实数序列 $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足条件 $\frac{t_{n+1}}{t_n} \ge 1+ \frac{\gamma}{n^\beta},0\le \beta <1, \gamma >0.$ 则集合 $\{\alpha \in [0,1]: \exists \varkappa > 0 \forall n \in \mathbb{N} ||t_n \alpha || > \frac{\varkappa}{n^\beta \log (n+1)} \}$ 是不可数的。此外，其 Hausdorff 维数等于 1。考虑形式为 $2^n3^m$ 的自然数集，并令序列 $s_1=1, s_2=2, s_3=3, s_4=4, s_5=6, s_6 = 8,...$ 将该集排列为递增序列。那么集合 $\{\alpha \in [0,1]: \exists \varkappa > 0 \forall n \in \mathbb{N} ||s_n \alpha || > \frac{\varkappa}{\sqrt{n}\log (n+1)} \}$ 的 Hausdorff 维数也等于 1。所得结果使用了 Y. Peres 和 W. Schlag 提出的一种原创方法。