关于实数幂模 1 的分布

给定一个严格递增且趋于无穷的正实数序列 $(q_{n})_{n=1}^{\infty}$，以及一个任意实数序列 $(r_{n})_{n=1}^{\infty}$。我们研究满足 $\lim_{n\to\infty}\|\alpha^{q_{n}}-r_{n}\|= 0$ 的 $\alpha\in(1,\infty)$ 集合。在 \cite{Dub} 中，Dubickas 证明了只要 $\lim_{n\to\infty}(q_{n+1}-q_{n})=\infty$，总存在一个超越数 $\alpha$ 使得 $\lim_{n\to\infty}\|\alpha^{q_{n}}-r_{n}\|= 0$。通过借鉴 Bugeaud 和 Moshchevitin \cite{BugMos} 的方法，我们改进了这一结果，并证明只要 $\lim_{n\to\infty}(q_{n+1}-q_{n})=\infty$，满足 $\lim_{n\to\infty}\|\alpha^{q_{n}}-r_{n}\|= 0$ 的 $\alpha\in(1,\infty)$ 集合是一个 Hausdorff 维数为 1 的稠密集。