正规数集的Cantor级数构造

设 $Q=(q_n)_{n=1}^{\infty}$ 为大于等于2的整数序列。我们称 $[0,1)$ 中的实数 $x$ 为{\it $Q$-分布正规}的，如果序列 $(q_1q_2... q_n x)_{n=1}^{\infty}$ 模1一致分布。在 \cite{Lafer} 中，P. Lafer 要求对任意 $Q$ 构造一个 $Q$-分布正规数。在对 $Q$ 施加轻微条件的情况下，我们构造了一个 $Q$-分布正规数集 $\Theta_Q$。该集合是完备且无处稠密的。此外，对于 $[0,1]$ 中的任意 $\alpha$，我们提供了一个序列 $Q$ 的显式例子，使得 $\Theta_Q$ 的 Hausdorff 维数等于 $\alpha$。在对 $q_n$ 施加某种增长条件的情况下，我们给出了对 $\Theta_Q$ 中每个 $x$ 都成立的偏差估计。