关于康托尔级数展开的正规数的典型性

固定一个整数序列$Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$，使得对所有$n$有$q_n \geq 2$。本文改进了J. Galambos和F. Schweiger的结果，证明了在勒贝格测度意义下，对于满足特定条件的序列$Q$，$[0,1)$中几乎所有实数关于$Q$-康托尔级数展开都是$Q$-正规的。我们还给出了典型数$Q$-康托尔级数展开中数字块出现次数的渐近表达式。引入了强$Q$-正规性的概念，该概念也满足类似的典型性结果。这两个概念对于$b$进制展开是等价的，但对于康托尔级数展开，强正规性比正规性更强。为了证明这一点，我们显式构造了一个序列$Q$和一个实数，该数是$Q$-正规的，但不是强$Q$-正规的。我们利用本文的结果证明，在序列$Q$满足一个温和条件下，由A. Rényi在文献\cite{Renyi}中研究的满足较弱正规性概念的集合将在$[0,1)$中稠密。