关于 Cantor-整数分布的研究

对任意正整数 $p\geq 3$，令 $A$ 为 $\{0,1,\ldots, p-1\}$ 的真子集且 $\sharp A=s\geq 2$。设 $h: \{0,1,\ldots,s-1\}\to A$ 为严格递增的一一映射，且 $A=\{h(0),h(1),\ldots,h(s-1)\}$。我们关注所谓的 Cantor-整数 $\{a_n\}_{n\geq 1}$，其由满足 $n$ 的 $p$ 进制展开中所有数字均属于 $A$ 的那些正整数 $n$ 组成。令 $\mathfrak{C}=\left\{\sum\limits_{n\geq 1}\frac{\varepsilon_n}{p^n}: \varepsilon_n\in A \text{ 对任意正整数 } n\right\}$ 为相应的 Cantor 集，并记支撑于 $\mathfrak{C}$ 上的经典自相似测度为 $\mu_{\mathfrak{C}}$。由于 $n^{\log_s p}$ 是 $a_n$ 的增长阶，且 $\left\{\frac{a_n}{n^{\log_s p}}:~n\geq 1\right\}'$ 恰为集合 $\left\{\frac{x}{(\mu_{\mathfrak{C}}([0,x]))^{\log_s p}}: x\in\mathfrak{C}\cap[\frac{h(1)}{p},1]\right\}$，其中 $E'$ 为 $E$ 的极限点集，我们证明 $\left\{\frac{a_n}{n^{\log_s p}}:~n\geq 1\right\}'$ 恰为区间 $[m,M]$，其中 $m:=\inf\left\{\frac{a_n}{n^{\log_s p}}:n\geq 1\right\}$，$M:=\sup\left\{\frac{a_n}{n^{\log_s p}}:n\geq 1\right\}$。特别地，若 $0\in A$，则 $\left\{\frac{x}{(\mu_{\mathfrak{C}}([0,x]))^{\log_s p}}: x\in\mathfrak{C}\backslash\{0\}\right\}=[m,M]$；且若存在正整数 $q \geq 2$ 使得集合 $A$ 由 $\{0,1,\ldots, p-1\}$ 中所有对 $q$ 有相同余数 $r\in\{0,1,\ldots,q-1\}$ 的整数组成（即 $h(x)=qx+r$），则 $m=\frac{q(s-1)+r}{p-1}, M=\frac{q(p-1)+pr}{p-1}$。我们进一步证明序列 $\left\{\frac{a_n}{n^{\log_s p}}\right\}_{n\geq 1}$ 模 1 非一致分布，它不具有累积分布函数，但具有（由一特定 Lebesgue 积分给出的）对数分布函数。