一类 Cantor 整数的极限行为

本文研究一类 Cantor 整数 $\{C_n\}_{n\geq 1}$，其基转换函数 $f:\{0,\dots,m\}\to \{0,\dots,p\}$ 严格递增且满足 $f(0)=0$ 与 $f(m)=p$。首先我们给出计算序列 $\left\{\frac{C_n}{n^{\alpha}}\right\}_{n\geq 1}$ 上极限与下极限的算法，其中 $\alpha =\log_{m+1}^{p+1}$，并在 $f$ 为一类二次函数时得到上、下极限的精确值。其次我们证明序列 $\left\{\frac{C_n}{n^{\alpha}}\right\}_{n\geq 1}$ 在其下、上极限分别为端点的闭区间内稠密。作为推论，(i) 我们得到支撑于 $\mathfrak{C}$ 上的自相似测度在 $0$ 处的上、下逐点 $1/\alpha$-密度，其中 $\mathfrak{C}$ 为由 Cantor 整数诱导的 Cantor 集。(ii) 序列 $\{\frac{C_n}{n^{\alpha}}\}_{n\geq 1}$ 不存在累积分布函数，但具有（由特定 Lebesgue 积分给出的）对数分布函数。最后我们得到 Cantor 整数求和函数的 Mellin-Perron 公式。此外，我们研究了由 Cantor 整数诱导的极限函数的一些解析性质。