康托集整数上的舍尔梅第定理

设 $\mathcal C= \{k_1<k_2 < \cdots\}$ 为整数的康托集，即在基数 $b$ 模下具有受限数位的整数集合，且假设 $0$ 是受限数位之一。我们证明了 $$\liminf_N \Expectation_{n\in [N]} m(A\cap T^{-k_n} A \cap \cdots \cap T^{-\ell k_n} A )>0.$$ 这是 Furstenberg 和 Katznelson 的 IP ergodic定理的一个延伸，是 Kra 和 Shalom 最近工作的一个部分延伸。特别地，这意味着对于任何上Banach密度为正的整数子集 $A$，存在一个整数集合 $B$，其下Banach密度为正，使得 $A$ 包含一个长度为 $\ell+1$ 的等差数列，其公差为 $k_n$，其中 $n\in B$。这补充了 Kra 和 Shalom 关于整数IP集的结果，以及 Burgin 关于素数带受限数位的 Sarkozy 定理的最近结果。