有限域上 IP Szemerédi 定理的 Furstenberg-Katznelson 常数

Bergelson 等人观察到，Furstenberg 对 Szemerédi 定理的证明为具有正密度的整数集合中的等差数列密度提供了一个正下界。即，对于每个 $\delta\in(0,1]$ 和每个 $k\in \mathbb{N}$，存在一个正数常数 $c=c(k,\delta)>0$，使得 $$\{n\in \mathbb{N} : d(E\cap (E-n)\cap\dots\cap (E-(k-1)n))>c(k,\delta)\} \neq \emptyset$$ 只要 $d(E)\ge \delta$。类似地，Furstenberg 和 Katznelson 证明了 IP Szemerédi 定理，特别地建立了常数 $c_{\mathrm{IP}}=c_{\mathrm{IP}}(k,\delta)>0$ 的存在性，使得 $$\{n\in \mathbb{N} : d(E\cap (E-n)\cap\dots\cap (E-(k-1)n))>c_{\mathrm{IP}}(k,\delta)\}$$ 为 $\mathrm{IP}^*$ 只要 $d(E)\ge \delta$。在本文中，我们研究了 $c$ 和 $c_{\mathrm{IP}}$ 的类似物及其遍历理论对应物 $c^{\mathrm{rec}}$ 和 $c_{\mathrm{IP}}^{\mathrm{rec}}$，针对有限域上的向量空间。我们给出了一个定性结果，在 Roth 定理和 IP-Roth 定理等特殊情况下，还为这些常数提供了强定量界。我们的工具主要是遍历理论的；我们研究了沿有限域上向量空间中的 $\mathrm{IP}$ 的多重遍历平均的特征因子和极限。