Szemerédi 定理的 Hardy 域扩展

Szemerédi 于 1975 年证明了具有正上密度的整数集包含任意长的等差数列。Bergelson 和 Leibman 在 1996 年表明，该等差数列的公差可以是平方数、立方数，或者更一般地具有 $p(n)$ 的形式，其中 $p(n)$ 是任何常数项为零的整系数多项式。我们产生了一系列与此类非多项式序列相关的新结果。我们证明了 Szemerédi 定理中等差数列的公差可以具有 $[n^\delta]$ 的形式，其中 $\delta$ 是任意正实数，$[x]$ 表示 $x$ 的整数部分。更一般地，公差可以具有 $[a(n)]$ 的形式，其中 $a(x)$ 是 Hardy 域中的任何函数，且对于某个非负整数 $k$ 满足 $a(x)/x^k\to \infty$ 和 $a(x)/x^{k+1}\to 0$。该证明结合了关于 Hardy 序列的新结构结果、遍历论技术以及近期关于幂零流形上序列等分布的结果。