结构性与随机性、算术级数及素数之间的二分法
数论
2007-05-23 v2
摘要
Szemerédi 的一个著名定理断言，所有具有正上密度的整数子集都包含任意长的算术级数。这个深刻定理有许多不同的证明，但它们都基于结构性与随机性之间的基本二分法，这反过来（粗略地说）导致任何对象分解为一个结构化的（低复杂度的）分量和一个随机的（去相关的）分量。这些分解类型的重要例子包括 Furstenberg 结构定理和 Szemerédi 正则性引理。这种二分法的一个近期应用是 Green 和 Tao 的结果，确立了素数包含任意长的算术级数（尽管在整数中密度为 0）。这种二分法的威力由如下事实得以证明：Green-Tao 定理几乎不需要来自解析数论的技术，而是几乎完全依赖这种二分法的表现，例如 Szemerédi 定理。本文我们考察这种二分法在组合学、调和分析、遍历理论和数论中的各种表现。正如我们希望在此强调的，这些论证中的潜在主题惊人地相似，即便语境截然不同。
引用
@article{arxiv.math/0512114,
title = {The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions, and the primes},
author = {Terence Tao},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0512114},
year = {2007}
}
备注
30 pages, no figures; this is a full-length version of a submission to the 2006 ICM (which will be abridged). Minor corrections and reference clarifications from previous version