用超滤子表述 Szemerédi 定理

Van der Waerden 定理断言，若用比如五种不同颜色对自然数着色，则总能找到任意长度的同色数列构成等差数列。Szemerédi 定理推广了这一结论，断言每个具有正密度的自然数子集都包含任意长度的等差数列。Van der Waerden 定理可以用初等组合学证明，但也可以利用超滤子和 Stone-Čech 紧化 $\beta N$ 给出一种解释和简短证明。本学位论文同样给出了 Szemerédi 定理基于超滤子的解释。特别地，Van der Waerden 定理等价于具有特殊性质的单个超滤子的存在性，而我们将证明 Szemerédi 定理等价于：在 $\beta N$ 上的计数测度下，几乎所有超滤子都具有这些性质。