关于在所有大尺度上均出现的正密度集合中构型的一个注记

Furstenberg、Katznelson 和 Weiss 在 20 世纪 80 年代初证明了，平面上在无穷远处具有正密度的每个可测子集都具有这样的性质：所有足够大的实数都能被实现为该集合中两点之间的欧几里得距离。他们的证明利用遍历理论研究对应于平面闭子集的 Lipschitz 函数空间上的平移，并结合了一个测度论论证。我们考虑了一种替代的动力学方法，其中相空间由从 $\mathbb{R}^d$ 到 $[0,1]$ 的可测函数集合给出，我们将其视为 $L^\infty(\mathbb{R}^d)$ 在弱 * 拓扑下的紧子空间。$\mathbb{R}^d$ 作用的逐点遍历定理表明，对于该空间上的任意平移不变测度，几乎所有函数在大尺度下渐近接近于常数函数。这一观察结果给出了一个构型在每个具有正上 Banach 密度的集合中所有足够大尺度上出现的一般充分条件，推广了 B. Bukh 的一个近期定理。为了说明该判据的应用，我们利用它证明了关于平面上可测子集中三点构型的一个新结果，这些点构成具有指定面积和边长的三角形的顶点，从而给出了与 R. Graham 工作相关的一个结果的新证明。