涉及域的加法群与乘法群及 $\{x+y,xy\}$ 模式的遍历定理

我们建立了一个涉及可数域 $K$ 的加法群与乘法群的“对角”遍历定理，并借助 Furstenberg 对应原理的一个新变体，证明了 $K$ 中的任何“大”集都包含许多形如 $\{x+y,xy\}$ 的构型。我们还证明，对于 $K$ 的任何有限着色，存在许多 $x,y\in K$，使得 $x,x+y$ 和 $xy$ 具有相同的颜色。最后，通过利用我们主遍历定理的一个有限版本，我们获得了关于有限域的组合结果。特别是，我们获得了 Cilleruelo [11] 所得结果的一个替代证明，该结果表明：对于任何有限域 $F$ 以及任何满足 $|E_1||E_2|>6|F|$ 的子集 $E_1,E_2\subset F$，存在 $u,v\in F$ 使得 $u+v\in E_1$ 且 $uv\in E_2$。