再探讨可数域与有限域中的和与积

我们为可数域 $K$ 的仿射群的作用建立了一个多项式遍历定理。作为应用,我们通过 Furstenberg 对应原理的一个变体推导出,对于特征为零的域,任何“大”集合 $E\subset K$ 都包含“许多”形如 $\{p(x)+y,xy\}$ 的模式,适用于每个非零多项式 $p(x)\in K[x]$。我们的方法足够灵活,使我们能够在有限域的环境中恢复类似的密度结果,并且借助 Bergelson “着色技巧”的一个新的有限变体,证明了对于固定的 $r\in \mathbb{N}$,任何足够大有限域的 $r$ 着色都将包含形如 $\{x,p(x)+y,xy\}$ 的单色模式。在另一个方向上,我们获得了可数域仿射群作用的双重遍历定理。将针对有限域仿射作用的论证进行改编,导出了 Shkredov 定理的一个推广。最后,为了突出上述有限“着色技巧”的实用性,我们提供了 Green 和 Sanders 的 $\{x,y,x+y,xy\}$ 定理的一个条件性、初等推广。