秩二局部系统的迹场有界性

设 $p$ 为一个固定的素数，$q$ 为 $p$ 的幂。对于 $\mathbb{F}_q$ 上的任意曲线及其上的任意局部系统，我们有一个由闭点处 Frobenius 的迹生成的数域，称为迹场。我们证明，当遍历特征 $p$ 下所有类型 $(g,n)$ 的带点曲线以及满足无穷远处条件的秩二局部系统时，在 $p$ 处非分歧且次数有界的迹场集合是有限的。这证明了 Kontsevich 通过数值计算得到的观察，而这些观察又与控制函数域上 Maeda 猜想的类似物密切相关。证明的关键要素是 Chin 关于单值群对 $\ell$ 的独立性的定理，以及利用部分 Hasse 不变量得到的特征正曲线上 $\mathrm{GL}_2$ 型阿贝尔概形的有界性；后者在我们的设定中是 Faltings 关于阿贝尔簇的 Arakelov 定理的类似物。