局部同构图的拓扑

我们开始研究群的 $p$-局部同构图，其中 $p$ 是素数。该图的顶点由群的所有有限指数子群构成，若 $[A : A\cap B]$ 和 $[B: A\cap B]$ 均为 $p$ 的幂，则在 $A$ 和 $B$ 之间连一条边。我们证明，具有所有幂零有限商群的群，其 $p$-局部同构图的任意分支都是完全图。进一步，该拓扑准则刻画了此类群。与此结果相反，我们证明对于任意素数 $p$，任何大群（例如非阿贝尔自由群、亏格为二或更大的曲面群，或更一般地，任何 virtually special 群）的 $p$-局部同构图都具有任意长度的测地线。