曲线上 $\ell$-进局部系统的计数

设 $X_{1}$ 是 $\mathbb{F}_{q}$ 上射影、光滑且几何连通的曲线，其中 $q=p^{n}$ 个元素，$p$ 为素数，并设 $X$ 为其在 $\mathbb{F}_{q}$ 代数闭包上的基变换。我们给出了 $X$ 上秩固定、被 Frobenius 自同态固定的不可约 $\ell$-进局部系统（$\ell\neq p$）个数的公式。我们证明该数目表现得如同 $\mathbb{F}_q$ 上某簇的 Lefschetz 不动点公式，这推广了 Drinfeld 在秩 $2$ 时的结果并证明了 Deligne 的一个猜想。为此，我们通过 Langlands 对应转到自守侧，然后使用 Arthur 的非不变迹公式，并将该数目与稳定 Higgs 丛模空间的 $\mathbb{F}_q$-点个数相联系。