SL(n) 群 Hitchin 纤维丛的计数

设 $C$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 上亏格为 $g$ 的光滑射影曲线，$D$ 为 $C$ 上度数 $>2g-2$ 的除子。我们假设 $\mathbb{F}_q$ 的特征足够大。设 $n$ 为整数，$\beta$ 为 $C$ 上次数为 $e$ 且与 $n$ 互素的线丛。我们给出了 $C$ 上秩为 $n$ 且行列式为 $\beta$ 的稳定（$D$-扭曲）Hitchin 丛数量的公式，该公式用 $C'$ 上秩为 $n/d$ 且次数为 $e$ 的稳定 Hitchin 丛数量表示，其中 $C'$ 遍历 $C$ 的次数为 $d$ 的循环覆盖，且 $d$ 整除 $n$。利用 Mozgovoy-O'Gorman 的工作，我们推导出 $C$ 上秩为 $n$、迹为 $0$ 且行列式为 $\beta$ 的（$D$-扭曲）Hitchin 丛模空间的以下不变量的闭公式：其在 $\mathbb{F}_q$ 的有限扩张上的点数、其 $\ell$-adic Poincaré 多项式及其 Euler-Poincaré 示性数。我们的主要工具是自守诱导的基本引理以及关于 $\mathrm{GL}(n)$ 群 Hitchin 纤维化上局部系统的相对上同调的支撑定理。