素有限域上关联数与 Beck 型界限的进一步改进

我们建立了改进的有限域 Szemerédi-Trotter 定理和 Beck 型定理。首先，我们证明若 P 和 L 分别是平面 F_p^2 中的点集和直线集，满足 |P|,|L| \leq N 且 N<p，则 P 中的点与 L 中的直线之间的关联数至多为 C_1 N^{3/2-1/662+o(1)}，其中 C_1 是某个大于 1 的绝对常数。这改进了此前已知的最佳界限 C_1 N^{3/2-1/806+o(1)}。其次，我们证明若 P 是 \mathbb{F}_p^2 中满足 |P|<p 的点集，则要么 P 中至少有 C_2|P|^{1-o(1)} 个点位于同一条直线上，要么 P 确定了至少 C_2 |P|^{1+1/109-o(1)} 条不同的直线，其中 C_2 是某个小于 1 的绝对常数。这一结果在两个方面改进了先前的工作：在定量上，指数 1+1/109-o(1) 优于此前已知的最佳指数 1+1/267；在定性上，该结果适用于所有满足基数条件的 F_p^2 子集，而此前已知的最佳结果仅适用于形如 P=A*A（其中 A \subseteq F_p）的集合。