Szemerédi-Trotter 定理的推广

我们将 Szemerédi-Trotter 关联定理推广，以界定高维空间中完全旗 (flags) 的数量。具体而言，对于每个 $i=0,1,\ldots,d-1$，给定 $\R^d$ 或 $\C^d$ 中 $i$-平面的有限集合 $S_i$，而一个（完全）旗是一个元组 $(f_0,f_1,\ldots,f_{d-1})$，其中对于每个 $i$ 有 $f_i\in S_i$，且对于每个 $i=0,1,\ldots,d-2$ 有 $f_i\subset f_{i+1}$。我们的主要结果是对旗数量的上界，该上界在最坏情况下是紧的。我们还研究了几种其他类型的关联问题，包括：(i) $\R^3$ 中点与线的关联，其中与某点关联的线中至多有 $O(1)$ 条共面；(ii) $\R^3$ 中与 Legendrian 线的关联，这是一类在考虑由其他群定义的旗时出现的特殊线；以及 (iii) $\R^3$ 中的旗（涉及点、线和平面），其中任何给定的线不能包含过多的点或位于过多的平面上。我们在 (iii) 中获得的界在最坏情况下几乎是紧的。最后，我们探讨了旗的群论解释，其推广版本引导我们发现了新的关联问题。