极值 Szemerédi-Trotter 例子中的胞腔分解结构

Szemerédi-Trotter 定理的对称情形指出，平面上任意由 $N$ 条直线与 $N$ 个点构成的构型至多具有 $O(N^{4/3})$ 个关联。我们描述了一个仅涉及 $O(N^{1/3})$ 个参数的构造方法，该方法有时（即对某些参数选择）会产生一个含 N 个点与 N 条直线的构型。（否则，我们称该构造方法失败。）我们证明，任何近极值的 Szemerédi-Trotter 例子都与该构造方法的一个成功实例密集相关。我们通过获取极值 Szemerédi-Trotter 例子中胞腔分解的结构信息得到此结果。我们对单位圆也得到了类似结果。