点-平面关联及正特征中的一些应用

点-平面关联定理指出，在域 $F$ 上的三维射影空间中，$n$ 个点与 $m\geq n$ 个平面之间的关联数为 $$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$ 其中 $k$ 为共线点的最大数目，若 $F$ 的特征 $p>0$ 则附加条件 $n< p^2$。该定理也构成了由 Stevens 和 de Zeeuw 给出的 $F^2$ 中点到线关联的先进 Szemerédi-Trotter 型界的基础。本综述聚焦于这些界的一些近期及新的应用，这些应用推动了 $F^d$（$d=2,3,4$）中若干开放几何问题的进展。这些问题包括：$d=2$ 时点集上非退化双线性形式的不同非零值的最小数目问题、$d=2,3$ 中 Erdős 不同距离问题的类比，以及支撑于 $d=3,4$ 中抛物面和球面上的集合的加性能量估计。本文避免讨论和积型问题（对应于与笛卡尔积的关联的特例），该特例近来受到更多关注。